Rendite und Inflation

Diese Seite erklärt, wie MonteFinance die zufälligen Marktrenditen und die Inflation modelliert.

Portfolio-Rendite

Das Zwei-Asset-Modell

Das Portfolio besteht aus zwei Asset-Klassen:

Asset-Klasse Typische Rendite Typische Volatilität Charakter
Aktien 7% p.a. 18% p.a. Höhere Rendite, höheres Risiko
Anleihen 3% p.a. 5% p.a. Niedrigere Rendite, geringeres Risiko

Gewichtete Portfolio-Rendite

Die Portfolio-Rendite ergibt sich aus der gewichteten Summe:

\(r_t = w_A \cdot r_{A,t} + w_B \cdot r_{B,t} - f\)

Symbol Bedeutung
\(w_A\) Gewichtung Aktien (z.B. 60%)
\(w_B\) Gewichtung Anleihen (= 1 − \(w_A\))
\(r_{A,t}\) Aktienrendite in Periode t
\(r_{B,t}\) Anleihenrendite in Periode t
\(f\) Kosten (TER, Verwaltungsgebühren)

Anlageprofile

Profil Aktien Anleihen Erwartete Rendite Erwartete Volatilität
Konservativ 30% 70% ~4.2% ~7%
Ausgewogen 50% 50% ~5.0% ~10%
Wachstum 70% 30% ~5.8% ~13%
Aggressiv 90% 10% ~6.6% ~16%

Rendite-Generierung

Das Lognormal-Modell

Die Renditen werden als logarithmisch normalverteilt modelliert (Geometrische Brownsche Bewegung):

\(r_{A,t} \sim \mathcal{N}\left(\mu_A - \frac{\sigma_A^2}{2}, \sigma_A^2\right)\)

\(r_{B,t} \sim \mathcal{N}\left(\mu_B - \frac{\sigma_B^2}{2}, \sigma_B^2\right)\)

Warum die Korrektur \(-\frac{\sigma^2}{2}\)?

Diese Korrektur (auch "Jensen's Inequality Adjustment" genannt) stellt sicher, dass der erwartete geometrische Mittelwert korrekt ist. Ohne diese Korrektur würde der Erwartungswert zu hoch ausfallen.

Beispiel: Verteilung der Aktienrenditen

Mit μ = 7% und σ = 18%:

Wahrscheinlichkeit
      ▲
      │         ┌───┐
      │        ┌┤   ├┐
      │       ┌┤    ├┤
      │      ┌┤     ├┤
      │     ┌┤      ├┤
      │    ┌┤       ├┤
      │   ┌┤        ├┤┐
      │  ┌┤         ├┤┤┐
      │ ┌┤          ├┤┤┤┐
      └─┴───────────┴─┴─┴─────▶ Rendite
        -30%  -10%  7%  25%  45%

Korrelierte Renditen (Cholesky-Zerlegung)

Das Problem

Aktien- und Anleihenrenditen sind nicht unabhängig. In Krisenzeiten fallen oft beide (positive Korrelation), in normalen Zeiten können sie sich gegenläufig verhalten.

Die Lösung: Cholesky-Zerlegung

Um korrelierte Zufallszahlen zu erzeugen, verwenden wir die Cholesky-Zerlegung:

\(\begin{pmatrix} Z_A \\ Z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \rho & \sqrt{1-\rho^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \end{pmatrix}\)

Mit:

  • \(\epsilon_1, \epsilon_2 \sim \mathcal{N}(0,1)\) = unabhängige Standardnormalverteilungen
  • \(\rho\) = Korrelationskoeffizient (typisch: 0.2)

Auswirkung der Korrelation

Korrelation Bedeutung Effekt auf Portfolio
ρ = 1 Perfekt gleichläufig Keine Diversifikation
ρ = 0.2 Leicht positiv (typisch) Gute Diversifikation
ρ = 0 Unabhängig Maximale Diversifikation
ρ = −0.5 Gegenläufig Starke Risikoreduktion

Inflationsmodellierung

Deterministische Inflation (MVP)

Im einfachsten Fall wird eine konstante Inflationsrate angenommen:

\(\pi_t = \bar{\pi} \quad \text{(z.B. 2% p.a.)}\)

Stochastische Inflation (erweitert)

Für realistischere Szenarien kann die Inflation zufällig schwanken:

\(\pi_t = \bar{\pi} + \sigma_\pi \cdot \epsilon_t\)

Mit:

  • \(\bar{\pi}\) = Erwartete Inflation (z.B. 2%)
  • \(\sigma_\pi\) = Inflationsvolatilität (z.B. 1%)

AR(1)-Modell (fortgeschritten)

Inflation zeigt typischerweise Autokorrelation (hohe Inflation heute → erhöhte Inflation morgen):

\(\pi_t = \bar{\pi} + \beta \cdot (\pi_{t-1} - \bar{\pi}) + \sigma_\pi \cdot \epsilon_t\)

Mit Autokorrelationsparameter \(\beta\) (typisch: 0.5-0.8).

Reale vs. Nominale Rendite

Die Fisher-Gleichung

Die reale Rendite (kaufkraftbereinigt) berechnet sich exakt nach Fisher:

\(r_{real,t} = \frac{1 + r_t}{1 + \pi_t} - 1\)

Vereinfachte Näherung:

\(r_{real} \approx r_{nominal} - \pi\)

Beispiel

Komponente Wert
Nominale Rendite 7%
Inflation 2%
Reale Rendite (exakt) 4.90%
Reale Rendite (Näherung) 5.00%

Konsistenz im Modell

Wichtig: Die Simulation muss konsistent sein:

  • Variante A: Reale Renditen + konstante Ausgaben
  • Variante B: Nominale Renditen + inflationsindexierte Ausgaben

Eine doppelte Anwendung der Inflation (beide Varianten gleichzeitig) führt zu falschen Ergebnissen!

Kosten und Gebühren

Kostenarten

Kostenart Beschreibung Typischer Wert
TER (Verwaltungskosten) Laufende Kosten des Fonds/ETF 0.1% - 0.5% p.a.
Fixkosten Depotgebühren etc. 0 - 100 €/Jahr
Transaktionskosten Bei Rebalancing 0.05% - 0.2%

Kostenabzug

Die Kosten werden von der Rendite abgezogen:

\(r_{netto} = r_{brutto} - \text{TER} - \frac{\text{Fixkosten}}{V_t}\)

Langfristige Auswirkung von Kosten

Selbst kleine Kostenunterschiede wirken über lange Zeiträume erheblich:

TER Endvermögen nach 30 Jahren*
0.2% 432.000 €
0.5% 401.000 €
1.0% 355.000 €
1.5% 315.000 €

*Bei 100.000 € Startkapital, 7% Bruttorendite, ohne Entnahmen

Parameter-Übersicht

Marktparameter

Parameter Beschreibung Standard
equityAllocation Aktienanteil 60%
equityReturn Erwartete Aktienrendite 7% p.a.
equityVolatility Aktien-Volatilität 18%
bondReturn Erwartete Anleihenrendite 3% p.a.
bondVolatility Anleihen-Volatilität 5%
assetCorrelation Korrelation 0.2
expectedInflation Erwartete Inflation 2% p.a.
inflationVolatility Inflationsschwankung 1%

Kostenparameter

Parameter Beschreibung Standard
managementFee TER/Verwaltungskosten 0.5% p.a.
fixedCosts Fixkosten pro Jahr 0 €
transactionCosts Transaktionskosten 0.1%